有限元分析（上）

工程类的朋友应该都接触过有限元分析，想到之前连伯努利方程都一知半解，对飞机起飞原理一窍不通的自诩北美高华Xiaoyan Zhu，不懂装懂嘲讽有限元分析，作为一名机械工程的学生多少有点无语。想借这个机会分享一下自己对有限元分析的粗浅理解。

本文只讨论我对为什么会产生有限元分析这一方法的看法，下一篇将结合我自己的一项研究中有限元分析部分为基础，分享一下有限元分析在真实复杂工程问题中能解决的实际复杂工程问题。

大部分朋友应该都接受过中学物理教育。在中学物理中，研究物体受力等问题时我们通常把对象简化成「质点」，或者是不会变形的「刚体」。尽管这样的物理模型在物理教学中非常必要，但几乎是无法解决现实的工程问题的，原因如下：

1. 首先是物体的体积无法忽略，这就导致对实际物体进行力的作用时，由于作用点的不同就会导致不同的实际效果，这一问题是「质点」模型无法解决的。
2. 由于有上述「质点」模型无法解决的问题，在本科的《理论力学》中，引入了「刚体」的概念。所谓「刚体」，就是不会因为受力而产生任何形变的、有一定体积的假想物理模型，物理上的描述为：杨氏模量趋近于无穷大。
3. 尽管「刚体」的概念解决了实际体积的问题，让我们可以分析不同力的作用下产生的力矩，力偶等，从而分析物体的旋转等问题，在工程分析中非常重要，但现实工程问题中是几乎是没有真正意义上的「刚体」，任何材料都会在受力下发生形变，因此孕育了《材料力学》。
4. 《材料力学》研究的是物体的材料本身作为物体结构的一部分，受到外力作用下会如何变形、不同的部分如何受力、以及在什么条件下材料会失效（比如断裂，疲劳等）。
5. 材料力学尽管系统地引入了连续介质假设和微积分工具，得以分析拉压、弯曲、扭转、挠度等问题，但材料力学中大多数的研究对象都是经典物理模型，这样的模型有规则几何形状、简单边界条件和理想载荷形式等苛刻的条件和特点。而现实生活中复杂结构、不规则几何、多材料耦合等具体问题往往无法得到微积分的解析解。

个人认为正是在这样的背景下，才诞生的有限元分析法。有限元继承了微积分和连续介质力学的思想，但由于要解决实际的工程问题，有限元分析刻意拒绝了将物体分割成无穷小。顺带一提，我认为这也是“有限”的意思，在日语里叫做「有限要素法」，即有限个要素的方法。

相反，如果把物体结构分割到无穷小，计算量将趋于无穷，工程上是完全不可行的，那也成了“无限元”了。有限元是将结构划分为有限个足够小的单元，在每个单元内假定物理量变化形式简单，对每个单元建立物理方程，再将这些单元拼装成整体数值系统。单元划分得越细，结果就越接近连续极限，但始终停留在工程可计算的范围内。

简单区分的话，微积分追求的是严格的数学极限，适用于理想化模型与理论分析；而有限元接受可控误差，通过数值方法解决真实、复杂、无法求得解析解的工程问题。

正因如此，几乎所有现代工程结构，都必须通过有限元分析进行验证。

这也是连伯努利方程都不懂的人不懂装懂嘲讽有限元分析法，让我啼笑皆非的原因。